sábado, 3 de diciembre de 2016

El desafío de la braquistócrona

El número de junio de 1696 de las Acta Eruditorum contenía el siguiente desafío:
"Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para la gente inteligente que un problema honesto y difícil, cuya posible solución les traiga fama y se convierta en un eterno monumento. Espero ganar la gratitud de la comunidad científica al proponer un problema que pondrá a prueba sus métodos y el valor de su intelecto. Si alguien me manda la solución, públicamente lo proclamaré digno de elogio.

"Dados dos puntos, A y B, en un plano vertical, cuál es la curva que debe seguir una partícula sobre la que actúa sólo la gravedad, para partir de A y llegar a B en el menor tiempo posible."
Se llama problema de la braquistócrona (del griego braquistos, el más corto, y cronos, tiempo). Ingenuamente uno podría decir: es una línea recta. Sabemos que la línea recta es la de menor distancia entre A y B. ¿Será la de menor tiempo? Pues no.

Bernoulli, que ya sabía la respuesta, no fue el primero en considerar este problema. Galileo ya había demostrado que, si la recta que une A y B está inclinada 45 grados, una partícula deslizándose por un arco circular llegaría a B más rápido que por la recta. Pero Galileo, incorrectamente, concluyó que la trayectoria circular era la más rápida de todas las posibles. Tampoco lo es.

Bernoulli recibió cinco soluciones, todas correctas: de su hermano Jacob Bernoulli (el de los números de Bernoulli), de Gotffried Leibniz (matemático alemán pionero del cálculo diferencial e integral), de Guillaume de L'Hôpital (matemático francés autor del primer libro de cálculo), de Ehrenfried von Tschirnhaus (filósofo y científico alemán, inventor de la porcelana europea), y del mismísimo Isaac Newton. Según su biógrafo John Conduitt, Newton recibió el problema una noche al regresar de su trabajo en la Casa de la Moneda. Estaba muy cansado a causa de una reforma monetaria que estaban poniendo en práctica, pero no paró hasta que lo resolvió a las 4 de la madrugada. Newton mandó su solución a Charles Montague, presidente de la Royal Society y amante de su sobrina favorita Catherine Barton (luego esposa del propio Conduitt). También la mandó en forma anónima a Bernoulli, quien no tardó en reconocer al autor. "Se reconoce al león por sus garras," dicen que dijo. Él había tardado dos semanas en resolver el problema.

El número de mayo de 1697 de las Actas publicó todas las soluciones. Tal como había prometido, Johann elogió a los ganadores, destacando que
"[además] de mi hermano mayor, las tres grandes naciones: Alemania, Inglaterra y Francia, cada una por su cuenta uniéndose a mí en tan hermosa investigación, todas hayan encontrado la misma verdad."
Las soluciones que desarrollaron los hermanos Bernoulli sentaron las bases de lo que hoy llamamos cálculo variacional. Euler (discípulo de Johann) formalizó el método geométrico de los Bernoulli, y encontró que la solución satisface lo que hoy llamamos ecuación de Euler-Lagrange. Lagrange generalizó y simplificó el método, sentando las bases de la Mecánica como ciencia analítica moderna.

¿Y cuál es la curva? La curva de recorrido más rápido, según encontraron correctamente los contendientes, se llama cicloide. Es la curva que dibuja un punto en el borde de una rueda al girar, como se ve en la figura animada. La solución del problema mecánico es al revés, del lado de abajo de la línea horizontal, como se verá en mi video.

La cicloide ya se conocía, y de hecho poco tiempo antes Christiaan Huygens había demostrado que tenía otra propiedad interesante, que a mí me resulta todavía más sorprendente: es isócrona, o tautócrona. Es decir, no importa de qué altura uno suelte la partícula en un tobogán cicloide, siempre tarda lo mismo en llegar al punto inferior. Huygens usó esta propiedad para diseñar un péndulo que, colgado de la cúspide de dos cicloides, oscila con un período independiente de la amplitud. Ideal para construir un reloj.

En el curso de Mecánica Clásica del Balseiro enseñamos la solución variacional del problema de la braquistócrona, y además hacemos una demostración improvisada con cablecanales y canicas. Este año la filmamos en cámara lenta y vale la pena mostrarla. Hay también una demostración de la isocronía (usando dos bolitas que llegan al mismo tiempo) y al final unas imágenes de un péndulo isócrono que tenemos en el laboratorio.



El cálculo variacional tiene muchísimas aplicaciones más allá de la Mecánica. Una de las que más me gustan es la siguiente. Un guardavidas ve a un bañista pidiendo ayuda. Sabiendo que corre a cierta velocidad v1 y que nada a otra velocidad, v2, ¿en qué punto debe entrar al agua para auxiliar al bañista lo más rápido posible? Se los dejo como ejercicio.



La figura animada de la cicloide es de Zorgit, CC BY-SA 3.0, (wikipedia).

En el texto original en latín de las Actas no pude encontrar el elogio de las "tres grandes naciones", que traduje del inglés. Debe estar ahí, pero es difícil leer tanto el estilo rebuscado como la tipografía del siglo XVII.

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sábado, 26 de noviembre de 2016

Eclipse anular patagónico

¡Atención amantes de la Patagonia y de la astronomía! Se acerca un ¡eclipse solar anular... patagónico!

Como ya hemos contado más de una vez, la órbita de la Luna no es circular sino ovalada. ¿Qué pasa cuando un eclipse solar coincide con que la Luna está en la parte más alejada de la órbita? ¡Pasa que no alcanza a tapar todo el Sol! Un bordecito de Sol, un anillo brillante, se ve asomando todo alrededor de la silueta lunar. Como si le hubieran hecho un agujero con un sacabocado. No son tan impresionantes como un eclipse total, pero estos eclipses anulares son dignos de verse. Tuve la suerte de ver el del 20 de mayo de 2012 desde Albuquerque, New Mexico. He aquí una secuencia del progreso del eclipse:


El próximo 26 de febrero habrá un eclipse de este tipo, visible desde una estrecha franja que cruzará la Patagonia desde la cordillera a la costa, en la provincia de Chubut. El eclipse se verá como eclipse parcial desde toda la Argentina (y buena parte del Cono Sur hasta Perú y Brasil). Pero la anularidad, el delgado anillo de fuego, sólo será visible desde una estrecha franja que tiene tres localidades cercanas: Facundo (una comunidad rural cerca de la ruta 40), Sarmiento (en medio de la estepa) y Camarones en la costa. Pueden ver el mapa del eclipse en Google Maps visitando este link o éste (donde también pueden descargar un archivo kmz para verlo en Google Earth offline). Haciendo click en cualquier lugar del mapa se abre un cuadrito informativo con todos los datos útiles, en particular la hora del comienzo y el fin de la fase anular, que dura apenas un minutito. Por ejemplo, para Facundo:


Sólo entre las líneas azules el eclipse será anular. Visto desde la línea roja la Luna pasará por el medio del Sol y el anillo será uniforme todo a su alrededor. Si no, será más grueso de un lado que del otro.

Creo que el eclipse del 26 de febrero va a ser mucho más impresionante que el que vi en 2012, cuya foto puse arriba. La razón es que el anillo solar va a ser mucho más estrecho. Durante el eclipse de Albuquerque la Luna ocultó el 87% del disco solar (se le dice oscurecimiento). ¡En Facundo el oscurecimiento será de más del 97%! Hice un gif animado para mostrar la diferencia, que vemos aquí al lado. ¡Im-pre-sio-nan-te!

Ahora bien, el cielo no se pone negro durante un eclipse anular, como ocurre en los eclipses totales. No se dejen engañar por las fotos de arriba, que están tomadas con un filtro muy oscuro delante de la lente. Aunque sea un bordecito de Sol es extremadamente brillante. Pero algo debería oscurecerse. ¿Podemos calcularlo?

Sí, para eso estamos los físicos. Es un poco complicado, porque el brillo del Sol no es uniforme en todo su disco: el borde (se llama limbo) es un poco más oscuro (como se ve en las fotos de la secuencia del eclipse). Podemos usar la forma matemática de ese oscurecimiento del limbo, más los tamaños del Sol y la Luna en cada eclipse, para calcular la disminución de brillo. Les ahorro los detalles. Obtuve lo siguiente:

Eclipse del 20 de mayo de 2012, en Albuquerque
Brillo del Sol: 8% del normal (reducción de 2.7 magnitudes)

Eclipse del 26 de febrero de 2017, en Facundo
Brillo del Sol: 1.2% del normal (reducción de 4.8 magnitudes)

O sea: ¡bastante oscuro! y también bastante brillante... La verdad, no me lo puedo imaginar. Habrá que verlo.

¿Será suficiente para que se note el oscurecimiento del cielo? El Sol es normalmente 400 mil veces más brillante que una Luna llena. Con el oscurecimiento de 4.8 magnitudes ese delgadísimo anillo será todavía casi 5000 veces más brillante que una Luna llena. Según mi estimación, el brillo residual corresponde a un Sol un poquito después del amanecer (por la reducción de brillo en la atmósfera). Pero sin el enrojecimiento, claro. Así que será como el cielo del amanecer, azul profundo, pero de color normal. Todavía no me lo puedo imaginar...

¿Se verán las estrellas? Tampoco lo sé. Muy cerca, pocos grados por encima del eclipse, estará el planeta Mercurio, brillando a magnitud -0.17. Algo más lejos, unos 10 grados arriba a la derecha, la estrella de primera magnitud Fomalhaut. Habrá que ver...


El anillo parece tan finito... ¿Se podrá mirar a simple vista? Un 1% es lo que deja pasar un filtro de soldar entre #5 y #6 (que además bloquean casi el 100% del UV). Es seguro mirar el Sol a través de un filtro #12 o más. Así que no: no es seguro mirar a simple vista. Más cerca de la fecha daremos indicaciones de cómo observarlo de manera segura.



Algunos detalles para matematicofílicos. Usé el siguiente modelo de oscurecimiento del limbo:
\[ I(\psi) = I(0) \big(1 + \sum_k a_k (1 - \cos^k \psi)\big). \]
Usando los primeros dos términos (\(a_1 = -0.47, a_2 = -0.23\)) y la relación \(\cos\psi = \sqrt{1 - (\sin \theta /\sin \Omega)^2}\) tenemos:
\[
I(\theta)= I(0)\left(1 - 0.47 (1 - \sqrt{1 - (\sin\theta/\sin\Omega)^2}) - 0.23 \big(1 -\sqrt{1 - (\sin\theta/\sin\Omega)^2}\big)^2\right),
\]
que integramos para encontrar la intensidad total y la del annulus:
\[ I_t = \int_0^{2\pi}\int_0^{\Omega} I(\theta)\,d\theta d\phi,~~
I_a = \int_0^{2\pi}\int_{\frac{d_{luna}}{d_{sol}}\Omega} ^{\Omega} I(\theta)\,d\theta d\phi, \]
con las cuales podemos calcular las magnitudes. Para el eclipse en Facundo tenemos \(d_{sol} = 32.3'\), \(d_{luna} = 31.9'\), \(r = 0.9903\) u.a. Se obtiene un factor de reducción de brillo de 82.9 (12.3 para el de Albuquerque).

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sábado, 19 de noviembre de 2016

Veinte años no es nada

Bueno, según qué veinte años. Estaba revisando un mapa de eclipses de Sol en una revista y me sorprendió un detalle. Fui a buscar otro mapa, en el sitio de eclipses de la NASA, y lo mismo. Aquí está, son todos los eclipses solares del mundo entre 2001 y 2020:


¿Qué detalle me llamó la atención?... ¿Cuál es el país del mundo donde hay más eclipses totales en estos 20 años? ¡La Argentina! Bueno, empatando con Chile. Hay tres eclipses solares totales, más que en ningún otro país de la Tierra, y además hay uno anular.

Uno de ellos ya pasó: fue el notable eclipse solar total de la Patagonia austral, el 11 de julio de 2010. La franja de totalidad terminaba casi exactamente en El Calafate. Era una gran tentación ir a verlo; pero no fui porque, en pleno invierno, lo más probable era que en esas latitudes estuviera nublado. Además, sólo iba a ser visible el final del eclipse, con el Sol apenas 1 grado sobre el horizonte del oeste, sobre la cordillera, donde las chances de nubes me parecían todavía mayores. ¡Cómo me arrepentí de no haber ido! No sólo estuvo despejado, sino que el eclipse se vio buenísimo sobre el paisaje nevado. Esta foto la compartió Janne Pyykkö en SpaceWeather, y me atraganto de sana envidia cada vez que la veo.


Los dos eclipses totales que faltan son mi mejor oportunidad de ponerme al día, ya que nunca vi un eclipse total. El primero será el 2 de julio de 2019, también en pleno invierno. Cruza todo el país por el medio, desde San Juan hasta Buenos Aires. Ya veremos desde dónde conviene observarlo. El siguiente me queda más cerca: es el 14 de diciembre de 2020, y pasa por acá nomás, desde Junín de los Andes hasta Las Grutas. De hecho, el punto de máximo eclipse también está muy cerca, en medio de la estepa. ¿Estará terminada la ruta nacional 23? Sospecho que no. Habrá que ver a dónde conviene ir.

¿Y el cuarto? ¿El eclipse anular? ¡Falta muy poquito! Será el 26 de febrero próximo. Si bien un eclipse anular no es en absoluto igual de impresionante que un eclipse total, de todos modos es algo muy lindo de ver. Tuve la suerte de ver el eclipse anular del 20 de mayo de 2012 que cruzó Norteamérica (uno de los apenas dos eclipses de Estados Unidos en todo el veintenio). Ya lo he contado aquí, en la nota El anillo de fuego. Así que no pienso perderme éste, que cruza la provincia del Chubut de la cordillera a la costa atlántica. Tengo la impresión de que será todavía mejor que aquél. La semana que viene contaré algo más sobre este eclipse que ya tenemos casi encima.


El atlas de eclipses es de Fred Espenak, el famoso Mr. Eclipse que preparó todos los cánones de eclipses de la NASA. La foto del eclipse total en El Calafate es de Janne Pyykkö, publicada en SpaceWeather.

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sábado, 12 de noviembre de 2016

¡Todos a observar la Hiperluna!

¿Una súper superluna? ¿Una hiperluna? ¿Será verdad? ¿O será uno de esos cuentos que vuelan por la Web?

Las dos cosas. Hay algo de cierto y bastante de exageración mediática. Es cierto que la próxima luna llena será una superluna, una luna llena más grande que lo habitual. Pero no hay que exagerar las expectativas: será apenas más grande. ¿Vale la pena verla? ¡Claro! ¡Siempre vale la pena observar la Luna!

Alguien se preguntará cómo puede ser que la Luna se vea más grande. Para eso, debería estar más cerca. Pero la Luna está en órbita alrededor de la Tierra, ¿cómo va a estar más cerca? Ya lo hemos contado, pero el público se renueva: resulta que la órbita de la Luna no es redonda. Es un óvalo (una elipse). Esto hace que, una vez por mes, la Luna esté más cerca de la Tierra y se vea más grande. Y uno se pregunta entonces por qué no hay superlunas todos los meses. Resulta que a veces este acercamiento (se llama perigeo) coincide con la luna llena, y a veces no. Cuando coincide con la luna llena tenemos una superluna. Ocurre más o menos una vez por año.

La diferencia de tamaño es considerable, si bien todavía no estoy seguro de si es realmente apreciable a ojo. Sobre todo porque uno no tiene, para compararla, más que el recuerdo de la luna llena anterior. Claro que si uno hace una foto sí se puede notar la diferencia. Aquí hay una foto de una superluna y una "miniluna" (una luna llena durante el máximo alejamiento de la Tierra, que se llama apogeo). No hay Photoshop: ambas fotos están tomadas exactamente con el mismo equipo fotográfico.


La luna llena de esta semana es una superluna... ¡pero además es una súper superluna! ¿Por qué? La órbita de la Luna en realidad no es una elipse simple, es más complicada, debido principalmente a la influencia del Sol. Así que los perigeos no son todos iguales. Y resulta que este perigeo es particularmente cercano, y que la luna llena ocurre casi exactamente al mismo tiempo. En los noticieros dicen que será el más cercano en quichicientos años. No sé, puede ser, la verdad que no verifiqué los números y no quiero repetirlos sin revisarlos. Ni vale la pena: la diferencia será en todo caso mínima. Lo que sí hice fue graficar la distancia a la Luna en Wolfram Alpha:


La línea roja es hoy viernes (cuando estoy escribiendo ésto). Cada mínimo es un perigeo, y se nota claramente que el próximo es bien cercano. Ergo: "hiperluna".

¿Cuándo podemos observarla? El momento exacto del perigeo y la luna llena no nos favorece: será a las 8:30 de la mañana (hora argentina), cuando la Luna esté del otro lado del mundo. Pero no hay mal que por bien no venga, porque tendremos entonces dos superlunas al precio de una, ya que la podemos ver salir doce horas antes y doce horas después. El domingo 13 a las 19:40, y el lunes 14 a las 20:54, sale la superluna en Bariloche. La hora exacta depende desde dónde observemos, y típicamente será visible algunos minutos después porque desde nuestra ciudad no vemos el horizonte sino los cerros lejanos de la estepa hacia el Este.


En Buenos Aires, por ejemplo, la luna llena sale a las 18:38 del domingo y a las 19:49 del lunes 14. Piensen, además, que la Luna en el horizonte, aunque parece más grande, está un radio terrestre más lejos que cuando alcanza su punto más alto. Otro día lo comentaremos.

En definitiva: es más bien un fenómeno social que astronómico, fomentado en años recientes por las redes sociales. Vale la pena aclarar que no tiene absolutamente ninguna consecuencia en la salud y los asuntos humanos. Pero la salida de la Luna llena es un evento hermoso, nos conecta con el universo, y siempre vale la pena verlo.


Quien quiera sacar fotos de superlunas y minilunas tiene que prepararse con anticipación. Y para hacerlo puede usar mi Calculadora de Superlunas y Minilunas, siempre disponible en el margen derecho del blog.

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