Las naranjas de Kepler

Desde hace meses tenía agendado escribir algo sobre este asunto, y de golpe, el 10 de agosto, se produjo una novedad sensacional. Así que me alegro de haberlo postergado. Se trata de la demostración de la Conjetura de Kepler. Es un problema de geometría que ha llevado 403 años zanjar, desde que nuestro viejo conocido Johannes Kepler, el descubridor de las leyes del movimiento planetario, lo planteó en 1611.

El problema es muy sencillo de formular: si uno tiene una cantidad de esferas iguales, ¿cómo hay que acomodarlas para que ocupen el menor espacio posible? Por ejemplo, si tengo que empaquetar naranjas, ¿cómo las acomodo para que me entre la mayor cantidad en un cajón?

Uno puede preguntarse cómo llegó Kepler, un astrónomo, a semejante cuestión. La verdad que no lo sé. Aparentemente el problema surgió en un intercambio epistolar con el astrónomo inglés Thomas Harriot, quien puede (o no) haber apuntado su telescopio a la Luna algunos meses antes que Galileo. Todo tiene que ver con todo.

Kepler conjeturó que la mejor manera de acomodar las naranjas era el empaquetamiento que hoy llamamos fcc (face-centered cubic), familiar a cualquier estudiante de física porque hay substancias que acomodan sus átomos en una red cristalina de esta manera. La red fcc aprovecha el espacio en un 74%. Es decir, el espacio vacío entre las naranjas es apenas un 26% del total.

Kepler conjeturó que este empaquetamiento era el óptimo, pero no pudo probarlo. Doscientos años pasaron, doscientos años de frustración y desesperanza para generaciones de verduleros y artilleros, que no sabían cómo acomodar las naranjas y las balas de cañón (respectivamente). El primer avance significativo hacia una solución lo consiguió Gauss, el príncipe de las matemáticas, quien pudo demostrar que, efectivamente, la red fcc es óptima para cualquier arreglo regular de las esferas. Quedaba una cuestión que, con ser menor, demostró ser muy peliaguda: ¿no habría alguna manera irregular de acomodar mejor las naranjas?

Durante el siglo XX la red fcc tuvo finalmente su gloria. Como anticipé, resultó ser uno de los sistemas cristalográficos en que se acomodan los átomos (una red de Bravais, se dice). El cloruro de sodio, la familiar sal de cocina, cristaliza acomodando sus cloros y sus sodios de esta manera (ver la nota al pie...). Durante la década de 1970 un ingeniero llamado Gordon Lang usó una generalización del problema a 8 dimensiones para diseñar un módem que permitió transmitir paquetes de datos por las ubicuas redes de cables telefónicos (en lugar de instalar redes de datos especializadas) abriendo la Internet al mundo. Todo tiene que ver con todo...

En 1998, un matemático llamado Thomas Hales (continuando ideas del húngaro Lászlo Fejes Tóth, algún día tengo que contar un chiste sobre Fejes Toth, Eördos, y otros matemáticos húngaros), Hales, decía, demostró que la conjetura de Kepler era "muy probablemente cierta". Su demostración involucraba un gigantesco cálculo computacional, lo cual le restaba valor formal a la prueba. Pocos años después, el propio Hales inició un programa para completar una verdadera prueba formal de la conjetura. También usando computadoras, pero de otra manera, usando más bien su poder de cálculo lógico que numérico. El 10 de agosto de 2014 el proyecto, llamado Flyspeck, anunció la finalización exitosa del programa. El cálculo llevó 6 días y medio de cómputo. ¡Un poco anticlimático para un problema de 400 años!

Como se ve en la serie de fotos que improvisé con bolitas, hay dos maneras de apilar esferas de manera muy parecida. Las dos tienen el mismo factor de empaquetamiento, 74%. Tal como apreció Kepler, el truco es que cada capa forme una red hexagonal, con cada esfera tocando a seis a su alrededor. La capa siguiente, para no desperdiciar espacio, se acomoda con las bolitas en los huecos de la capa de abajo, tocando tres. La diferencia está en la tercera capa. Si lo intentan se darán cuenta: hay dos tipos de huecos entre las bolitas de la segunda capa. Hay huecos sobre bolitas de la primera, y huecos sobre huecos. Las bolitas de la tercera capa pueden ir directamente sobre bolitas de la primera capa (fcc hcp, hexagonal close packing) o sobre huecos (hcp fcc). (¡Gracias a Nico Borda, que me hizo notar que las había puesto al revés!)

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Notas...

El aficionado a la química no dejará de notar que los átomos de cloro y de sodio son de distinto tamaño, contradiciendo la condición de que las esferas sean iguales. Pasa que los cloros forman una fcc por su lado, y los sodios otra por el suyo, y ambas fcc's se intercalan bellamente.

La nota que me motivó inicialmente para escribir sobre la conjetura de Kepler fue The unplanned impact of Mathematics, de Peter Rowlet (Nature, 475, 14 july 2011), que está muy buena. De allí está tomada la ilustración, que es de David Parkins. La noticia de la demostración reciente me la dio Gabriela.