sábado, 11 de marzo de 2017

De la manzana a la Luna

Ya he contado que la anécdota de Newton y la manzana es muy probablemente cierta. Pero les debía una parte de la historia. ¿Cómo llegó Newton a formular la ley de gravitación inspirado por un hecho tan mundano como la caída de una manzana? En las memorias de su amigo Stukeley, Newton le dice cómo fue que la noción de la gravitación universal vino a su mente:
“Fue ocasionada por la caída de una manzana, mientras estaba sentado en actitud contemplativa. ¿Por qué la manzana desciende perpendicularmente al suelo? ¿Por qué no va de costado, o hacia arriba, sino constantemente hacia el centro de la Tierra? Seguramente porque la Tierra la atrae. Debe haber un poder de atracción en la materia: y la suma de este poder de atracción debe estar en el centro de la Tierra, no en un costado. […] Si la materia atrae a la materia, debe ser en proporción a su cantidad. Así que la manzana atrae a la Tierra tal como la Tierra atrae a la manzana. Hay una fuerza, que aquí [en la Tierra] llamamos gravedad [es decir: peso], que se extiende por el universo.”
Hoy en día nos parece una obviedad que la atracción gravitatoria resultante de toda la Tierra esté dirigida hacia su centro, y que se extienda hasta la Luna y más allá; no era así en el siglo XVII. Pero nos falta todavía la conexión con el movimiento de la Luna y de qué manera la atracción depende de la distancia. En un manuscrito de 1714 el propio Newton refiere que:
“…comparé la fuerza requerida para mantener la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra, y encontré un acuerdo bastante bueno. Todo esto fue en los años de la Plaga de 1665 y 1666, ya que en esos días estaba en mis mejores años de inventiva, y se me daba la matemática y la filosofía (*) mejor que nunca.”
(*) La filosofía: la física, tal como se la llamaba en el siglo XVII.

Nunca sabremos el razonamiento exacto de Newton sentado bajo el manzano, pero un texto del matemático y astrónomo escocés David Gregory relata una visita a Newton, y cuenta haber visto un manuscrito “anterior a 1669” con los cálculos. Newton imagina la Luna y la Tierra, como en la figura de aquí al lado. Si no existiera la atracción gravitatoria, en un tiempo infinitesimal (exagerado por claridad en la figura) la Luna se movería en la línea recta azul de A a B, según la ley de inercia de Galileo. Pero debido a la atracción gravitatoria de la Tierra, la Luna “cae” de B a C. Si el fenómeno que produce la órbita de la Luna es el mismo que rige la caída de las manzanas, la ley de caída vertical (también descubierta por Galileo) le permitiría calcular la aceleración de esta “caída”.

Newton conoce el radio de la órbita de la Luna y su período, así que calcula por métodos geométricos la distancia BC correspondiente a un movimiento de 1 segundo, y encuentra la aceleración. Al compararlo con la aceleración de la caída libre en la superficie de la Tierra, le da “algo más de 4000” veces menor. La distancia de la Luna al centro de la Tierra es 60 radios terrestres, esto es 60 veces mayor que la distancia de la manzana (que está en la superficie) al centro de la Tierra. 60 al cuadrado es 3600, así que la aceleración debida a la fuerza gravitatoria, si disminuyera con el cuadrado de la distancia, debería ser 3600 veces menor sobre la Luna que sobre la manzana. La discrepancia entre 3600 y 4000 no satisfizo a Newton, quien llegó a sospechar que el movimiento de la Luna se debía sólo en parte a la gravedad. Aparentemente varias confusiones entre las muchas unidades de longitud usadas en su época, así como cierta inexactitud del radio terrestre conocido por entonces, conspiraron para producir el error. En todo caso, abandonó por varios años sus investigaciones sobre la gravitación.

Podemos modernizar el argumento para ver con nuestros propios ojos el resultado. Imaginemos que la órbita de la Luna es circular. Sin apelar a la ciencia de la dinámica (que el propio Newton aun estaba por desarrollar), consideraciones puramente geométricas y cinemáticas, al estilo de las de Galileo, permiten calcular la aceleración centrípeta (vale decir, hacia el centro de la Tierra) experimentada por la Luna en su movimiento circular:\[a_c = \text{radio} \times \text{frecuencia}^2 = 60R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\]donde \(60R\) es el radio de la órbita lunar (expresada en radios de la esfera terrestre) y \(T\) es el período orbital de la Luna. Poniendo valores aproximados:\[T\approx 27.5 \text{ días} = 27.5\times 86400 \text{ seg},\]\[60R\approx 384000 \text{ km},\]obtenemos:\[a_c \approx 0.002685 \text{ m/s}^2 = g/3649,\]siendo \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) el conocido valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Niente male.

En 1679, a raíz de un intercambio epistolar con Robert Hooke, Newton retomó sus cálculos sobre la dinámica y demostró que si la fuerza fuera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, entonces valdría la Primera Ley de Kepler: que las órbitas de los planetas y los satélites son elípticas, con el centro de fuerza en uno de los focos. Finalmente, en 1684, a pedido de Edmund Halley, Newton rehizo estos cálculos, los complementó y los publicó como De motu corporum in gyrum (El movimiento de los cuerpos en órbita). Allí repite “la prueba de la Luna”, obteniendo esta vez “muy exactamente” una dependencia cuadrática con la distancia.

Pero no se detuvo allí. Al componer De motu Newton descubrió el poder de sus novedosos métodos matemáticos, que le permitían describir muchísimas situaciones que nadie sabía cómo tratar: el movimiento de varios cuerpos, los medios viscosos, las órbitas de los cometas, el movimiento anómalo de la Luna, la precesión de los equinoccios, las mareas, la forma aplanada del globo terrestre y mucho más. Urgido por Halley, Newton trabajó sin detenerse durante un año y medio. El resultado: los tres volúmenes de los Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, publicados en 1687, la obra más influyente de la Revolución Científica del siglo XVII y una de las más extraordinarias de la historia de la ciencia. Todo salido de la reflexión de un hombre que un día vio caer una manzana, y se preguntó si la fuerza que la hacía caer no sería la misma que mantenía a la Luna en su órbita.

Si querés revisar las notas sobre Newton, recomiendo el siguiente orden: 
Newton y la Peste
El manzano de Newton
El cometa de Newton
De la manzana a la Luna
La Era de Acuario


Muchas cosas como éstas están contadas en Newton's Principia for the common reader, de S. Chandrasekhar (el astrofísico que descubrió buena parte de los secretos de la evolución estelar), y en The background to Newton's Principia, de John Herivel (de relevante actuación en el desciframiento del Código Enigma hasta que las máquinas diseñadas por Alan Turing comenzaron a funcionar).

La foto muestra las manzanas de Newton de nuestro árbol histórico y, detrás, la Luna.

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